"CALCULUS VECTOR (2014-B)" (cálculo vectorial): ENERO

Empezando un nuevo año la primera clase del mes de enero fue

Máximos y mínimos

en R² f : R-->R

x-->y = f(x)

df/dx = 0 --> Pto. crítico --> Ptos. Máximos o mínimos

en R3 f : R²-->R

(x,y)-->z = f(x,y)

∂f/∂x = 0 --> Ptos. Críticos --> Ptos. extremos
∂f/∂y = 0

Suponiendo z = f(x,y) definida en cierto dominio D, en el cual contiene un punto Po(xo,yo). Se dice que f(x,y) tiene un MÁXIMO RELATIVO en (xo,yo) si se cumple

f(x,y) ≤ f(xo,yo)

para (x,y) suficientemente cercano a (xo,yo)

Si f(x,y) ≥ f(xo,yo), entonces se dice que f(x,y) tiene un MÍNIMO RELATIVO en (xo,yo)

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Segunda clase del mes de enero

Teorema:
Sea z = f(x,y) definida en un dominio D y que existan las derivadas parciales y que sean continuas en D. Sea (xo,yo) las coordenadas de un punto donde ∂z/∂x ˄ ∂z/∂y son iguales a cero y sean:

A = ∂²z/∂x² evaluado en xo,yo
B = ∂²z/∂x∂y evaluado en xo,yo
C = ∂²z/∂y² evaluado en xo,yo

Entonces se tienen los siguientes casos

B² - AC < 0 ˄ A + C < 0, Ǝ Mr en (xo,yo)
B² - AC < 0 ˄ A + C > 0, Ǝ mr en (xo,yo)
B² - AC > 0, Ǝ Punto de Silla en (xo,yo)
B² - AC = 0, Naturaleza de punto crítico indeterminada

También se puede usar el criterio del Determinante Hessiano

| A B |
Δ = | | = AC - B²
| B C |

Si cumple

Δ > 0, A < 0 (0C < 0), Ǝ Mr en (xo,yo)
Δ > 0, A > 0 (0C > 0), Ǝ mr en (xo,yo)
Δ < 0, Ǝ punto de silla en (xo,yo)
Δ = 0, Naturaleza de punto crítico indeterminada

Multiplicadores de Lagrange

está vinculado a la resolución de problemas de optimizan de campos escalares sujetos a restricción de las variables. Tomaremos en particular, funciones reales de un vector de dos variables o campos escalares de dos variables, que están condicionados por una función de dos variables.

teorema en cuestión, bien conocido, trata de la maximización (o minimización) de una función de varias variables,

, bajo restricciones de igualdad

Suponiendo que tanto la función objetivo como las restricciones son continuamente diferenciables en un óptimo local

del problema y que la matriz jacobiana

tiene rango

, el teorema establece la existencia de , llamadosmultiplicadores de Lagrange, tales que

(1)

siendo

la denominada función lagrangiana, definida por

(2)

La demostración más habitual de este resultado se basa en el teorema de la función implícita.

Obsérvese que (1) puede escribirse, equivalentemente,

(3)

el símbolo

denota aquí gradiente.

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Clase numero tres del mes de enero

INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R: a<x<b, c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

Entonces,

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn =

"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

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-Aplicaciones de las Integrales múltiples

1. Centro de masa

Es el punto donde se concentra toda la masa de un cuerpo. Se puede tener dos casos:

a. Caso Discreto

Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente:

b. Si se trata de "n" masas

En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumaroria:

c. Caso continuo

Se trata cuando el número de masas n tiende al infinito, para lo que se debe usar las integrales:

En donde se define la igualdad:

Para todos los casos presentados, se puede definir un punto o vector de centro de masa:

En la mayoría de casos, se presentan diferentes cuerpos, de los cuales se debe encontrar el centro de masa, como por ejemplo láminas o sólidos, por lo que se usa la densidad de masa para resolver las integrales:

a. Distribución de masa lineal

Cuando se tiene un cuerpo con una sola dimensión, se puede definir la siguiente igualdad:

b. Distribución de masa superficial

Si se tiene un cuerpo de dos dimensiones, se utiliza un diferencial de área, y se define la siguiente igualdad:

c. Distribución de masa volumétrica

Cuando se tiene un cuerpo sólido de 3 dimesiones, para lo que se usa un diferencial de volumen, y se forma la igualdad:

Dadas estas igualdades, se puede reemplazar dm dentro de las integrales para que estas puedan ser resueltas mas fácilmente, haciendo uso de integrales simples, dobles y triples.

2. Momento de Inercia

Para calcular el momento de inercia de un cuerpo, se hace uso de las siguientes ecuaciones:

En donde, como los anteriores casos presentados, se puede reemplazar dm con la densidad de masa para resolver las integrales.

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INTEGRAL DE LÍNEA

Una integral puede ser evaluada en un intervalo [a,b], como una integral simple:

También puede ser evaluada una integral doble sobre una región:

Esta integral se evalúa como integral definida, cuyos extremos dependen de la región considerada. Vamos a definir una integral que es similar a la integral simple excepto que, en lugar de integrar sobre un intervalo [a, b], o sobre una región, integramos sobre una curva C. Una integral de línea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva.

Sea c una curva suave a trozos situada en una región abierta R dada por:

r(t) = x(t)i + y(t)j para a £ t £ b