DICIEMBRE

En esta primera clase del mes de diciembre, el tema a tratar fue las derivadas de orden superior.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

en R²     f : R-->R

                   x-->y = f(x)

d²y/dx² = d/dx[dy/dx]

d3y/dx3 = d/dx[d²y/dx²]

dny/dxn = d/dx[dn-1y/dxn-1]

en R3         f : R²-->R

                   (x,y)-->z = f(x,y)

fx = ∂f/∂x

                    ∂/∂x[∂f/∂x] = ∂²f/∂x² = fxx = Dxx

                    ∂/∂y[∂f/∂x] = ∂²f/∂y∂x = fyx = Dyx

fy = ∂f/∂y

                    ∂/∂x[∂f/∂y] = ∂²f/∂x∂y = fxy = Dxy

                    ∂/∂y[∂f/∂y] = ∂²f/∂²f/∂y² = fyy = Dyy

Si f(x,y) es función continua y tiene derivadas parciales de primer orden continuas, entonces ∂²f/∂y∂x = ∂²f/∂x∂y

Si f es una función de "n" variables independientes, existirán "n²" derivadas de segundo orden.

Si f es una función de "n" variables independientes, existirán "nm" derivadas de m-simo orden.

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Segunda clase del mes de diciembre

En esta clase tratamos sobre los Incrementos totales y parciales de una función de 2 variables.

en R²     f : R-->R

                   x-->y = f(x)

Si "x" sufre un cambio (aumento o disminución), la variable dependiente "y" también se incrementa

Δy = f(x+Δx) - f(x)

en R3         f : R²-->R

                   (x,y)-->z = f(x,y)

ΔZx = f(x+Δx,y) - f(x,y)

ΔZy = f(x,y+Δy) - f(x,y)

ΔZ = f(x+Δx,y+Δy) - f(x,y)

ΔZ ≠ ΔZx + ΔZy

En general y con aproximaciones, podemos asegurar que

dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy

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Tercera clase del mes de diciembre

La clase fue sobre Derivada Direccional, para ello veremos sobre el Operador Nabla "∇" y sus operaciones

∇ = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) 

     Gradiente

u = u(x , y , z)

Grad u = ∇u = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) u

∇u = (∂u/∂x , ∂u/∂y , ∂u/∂z)

     Divergencia

A = (Ax , Ay , Az)

Div A = ∇ . A = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z)  . (Ax , Ay , Az)

Div A = ∂Ax/∂x , ∂Ay/∂y , ∂Az/∂z

     Rotacional

A = (Ax , Ay , Az)

Rot A = ∇ x A = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) x. (Ax , Ay , Az)

Rot A = (∂Az/∂y - ∂Ay/∂z)i - (∂Az/∂x - ∂Ax/∂z)j + (∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y) k

     Laplaciano

∇ . ∇ = ∇² = (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z) . (∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z)

∇² = (∂²/∂²x , ∂²/∂²y , ∂²/∂²z)

          Ecuación de Laplace 

∂u²/∂²x , ∂u²/∂²y , ∂u²/∂²z = 0

Derivada Direccional

f es una función de x y y, la derivada direccional de f (x , y) en la dirección u es

Duf(x , y) = ∇ f(x , y) . u

Es la derivada en la dirección de un valor específico que nos piden encontrar

Si  f es una función diferenciable de x, y y z, la derivada direccional de f(x , y , z) en la dirección u es

Duf(x , y , z) = ∇ f(x , y , z) . u

∇ f(x , y) . u = |∇f ||u| cos α ;          |u| = 1

i) si α = 0

cos 0 = 1

Duf(x , y) = |∇f |     Máximo valor de cambio

ii) si α = π/2

cos π/2 = 0

Duf(x , y) = 0    Estado Estacionario

ii) si α = π

cos π/2 = -1

Duf(x , y) = -|∇f |    Mínimo valor de cambio

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Cuarta clase del mes de diciembre

Funciones Implícitas 

F(x,y,z) = 0
G(x,y) = 0

Ax + By + Cz + D = 0 --> F(x,y,z)
x² + y² + z² - R² = 0 --> G(x,y,z)

Derivación de Funciones Implícitas

          Método 1: Por Diferenciación

I) F(x,y) = 0

∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy = 0

i) y = f(x) --> ∂y/∂x

∂y/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂y)

ii) x = f(y) --> ∂x/∂y

∂x/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂x)


II) F(x,y,z) = 0

∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy + ∂F/∂z dz = 0

i) z = f(x,y) --> ∂z/∂x , ∂z/∂y

∂z/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂z)

∂z/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂z)

ii) y = f(x,z) --> ∂y/∂x , ∂y/∂z

∂y/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂y)

∂y/∂z = -(∂F/∂z)/(∂F/∂y)

iii) x = f(y,z) --> ∂x/∂y , ∂x/∂z

∂x/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂x)

∂x/∂z = -(∂F/∂z)/(∂F/∂x)

          Método 2: Por derivación Implicita

F(x,y,z) = 0

∂F/∂x . ∂x/∂x + ∂F/∂y . ∂y/∂x + ∂F/∂z . ∂z/∂x = 0          Con respecto a "x"

∂F/∂x . ∂x/∂y + ∂F/∂y . ∂y/∂y + ∂F/∂z . ∂z/∂y = 0          Con respecto a "y"

∂F/∂x . ∂x/∂z + ∂F/∂y . ∂y/∂z + ∂F/∂z . ∂z/∂z = 0          Con respecto a "z"

Sistemas de Funciones Implícitas

F(x,y,u,v) = 0
G(x,y,u,v) = 0

x = x (u,v)                    y = y (u,v)
∂x/∂u , ∂x/∂v               ∂y/∂u , ∂y/∂v

          Método de diferenciación

∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy + ∂F/∂u du + ∂F/∂v dv = 0
∂G/∂x dx + ∂G/∂y dy + ∂G/∂u du + ∂G/∂v dv = 0

Si x = x(u,v)
dx = ∂x/∂u du + ∂x/∂v dv

Si y = y(u,v)
dy = ∂y/∂u du + ∂y/∂v dv

          Determinante Jacobiano

       | ∂F/∂x          ∂F/∂y  |
D =  |                            | = ∂(F,G)
       | ∂G/∂x          ∂G/∂y |

          | ∂F/∂u          ∂F/∂y |            | ∂F/∂v          ∂F/∂y |
D1 = - |                            |   du  -  |                            |   dv
          | ∂G/∂u          ∂G/∂y |           | ∂G/∂v          ∂G/∂y |

D1 = -∂(F,G)/∂(u,v) du - ∂(F,G)/∂(u,v) dv

∂x = D1/D

∂x/∂u = -(∂(F,G)/∂(u,y))/(∂(F,G)/∂(x,y))
∂x/∂v = -(∂(F,G)/∂(v,y))/(∂(F,G)/∂(x,y))

          | ∂F/∂x          ∂F/∂u |            | ∂F/∂x          ∂F/∂v |
D2 = - |                            |   du  -  |                            |   dv
          | ∂G/∂x          ∂G/∂u |           | ∂G/∂x          ∂G/∂v |

D2 = -∂(F,G)/∂(x,u) du - ∂(F,G)/∂(x,v) dv

∂x = D2/D

∂x/∂u = -(∂(F,G)/∂(x,u))/(∂(F,G)/∂(x,y))
∂x/∂v = -(∂(F,G)/∂(x,v))/(∂(F,G)/∂(x,y))