NOVIEMBRE

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 

Sea f : R -> Rn

       (x1, x2, x3, ..., xn) -> w = f (x1, x2, x3, .., xn)

                              Dom f : {(x1, x2, x3, ..., xn) ϵ Rn / w = f (x1, x2, x3, .., xn)}

                              Rang f : { w ϵ R / w = f (x1, x2, x3, .., xn)} 

CURVAS DE NIVEL

Curvas de Nivel, estas son un conjunto de todos los puntos (x , y) donde f(x , y) = c siendo c una constante

Las Gráfica de una función de 2 variables nos dice que: Sea f(x , y) = z, su gráfica es el conjunto de (x , y , f(x , y)) representados en el espacio, siendo (x,y) є domf. Como ejemplos tenemos algunos casos particulares muy utilizados a nivel ingenieril, estos son:

1) Si z = T(x , y) es la temperatura de cada punto de una región del plano, Las curvas de nivel corresponden a puntos de igual temperatura, entonces estas curvas se denominan ISOTERMAS.

2) Si z = P(x , y) es el potencial eléctrico de cada punto de una región del plano, Las curvas de nivel corresponden a puntos de igual potencial, entonces estas curvas se denominan EQUIPOTENCIALES.

Límites y continuidad de funciones

 

Para que cumplan los límites, no basta con que los límites sean iguales por izquierda y por derecha, sino tienen que ser iguales por un sin número de caminos y ya que es virtualmente imposible analizar cada camino que se tome para comprobar la existencia de los límites, se hace el uso de su definición formal.

La continuidad se lo hace del mismo modo que se lo hacia cuando está en una variable, es decir debe cumplir las condiciones:

i) Ǝ f(xo , yo)

ii) Ǝ lim (x , y) --> (xo , yo) f(x , y)

iii) lim (x , y) --> (xo , yo) f(x , y) = f(xo , yo)

Caso contrario, f es discontinua, y si es una discontinuidad evitable, se la redefine para que sea continua.

 

Derivadas parciales 

 

Esta clase fue sobre derivadas de una función de varias variables. Para ello, repasaremos la definición de derivada global en R² que es dy/dx = lim h --> 0 (f(x + h) - f(x))/h, siendo x la variable independiente y y la variable dependiente. En R3 no hablamos de derivada global, sino de derivadas parciales, estas de definen como:

∂z/∂x (xo , yo) = fx (xo , yo) = Dx (xo , yo) = ∂f/∂x (xo , yo) = lim h --> 0 (f(xo + h , yo) - f(xo , yo))/h

∂z/∂y (xo , yo) = fy (xo , yo) = Dy (xo , yo) = ∂f/∂y (xo , yo) = lim k --> 0 (f(xo , yo + k) - f(xo , yo))/k

 

siendo x, y las variables independientes y z la variable dependiente.

Así mismo, en R4 las derivadas parciales se definen como:

 

∂w/∂x (xo , yo , zo) = ∂f/∂x (xo , yo , zo) = lim h --> 0 (f(xo + h , yo , zo) - f(xo , yo , zo))/h

∂w/∂y (xo , yo , zo) = ∂f/∂y (xo , yo , zo) = lim k --> 0 (f(xo , yo + k , zo) - f(xo , yo , zo))/k

∂w/∂z (xo , yo , zo) = ∂f/∂z (xo , yo , zo) = lim l --> 0 (f(xo , yo , zo + l) - f(xo , yo , zo))/l
siendo x, y, z las variables independientes y w la variable dependiente.