OCTUBRE

                                                       GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R3
- En R2: 
                            F(x,y) = 0       Función implícita de dos variables
   Geométricamente representa una función implícita de dos variables es decir una curva en el plano R2.

Sistema de funciones implícitas 
  F(x,y)=0
  G(x,y)=0
       La intersección de dos funciones implícitas genera uno o mas puntos.

- En R3:
                                        F(x,y,z)=0       Función implícita de tres variables
       Geométricamente representa una superficie cilíndrica en R3.

 CASOS PARTICULARES
               F(x,y)=0                Superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje OZ
               F(x,z)=0                Superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje OY
               F(y,z)=0                Superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje OX

  F(x,y,z)=0
  G(x,y,z)=0 La intersección de dos superficies cilíndricas genera curvas.

    F(x,y,z)=0
    G(x,y,z)=0
    H(x,y,z)=0
 La intersección de tres superficies cilíndricas genera uno o mas puntos.

LA RECTA EN R3
        1) Conociendo un punto de la recta y un vector director 
                                   r = ro + ta

           x = xo + tl
           y = yo + tm                   Ecuaciones paramétricas de la recta.
           z = zo + tn 

           x - xo / l  =  y - yo / m  =  z - zo / n     Ecuaciones cartesianas de la recta

         2) Conociendo dos puntos de la recta

                r = r1 + t(r2 - r1)             Ecuación vectorial de la recta

               x = (1-t)x1 + tx2
               y = (1-t)y1 + ty2                  Ecuaciones paramétricas de la recta.
               z = (1-t)z1 + tz2 

               (x-x1)/(x2-x1) = (x-x1)/(x2-x1) = (x-x1)/(x2-x1)     Ecuaciones cartesianas de la recta

Distancia de un punto a una recta

d = ||a x (r1 - r0)||

Ángulo entre dos rectas

ø = arc cos (a1 x a2)

EL PLANO EN R3

        (r - r0) • n = 0                                   Ecuación vectorial del plano

        Ax + By + Cz + D = 0                        Ecuación general del plano

   - Si se conoce tres puntos del plano tenemos:

                     (r - r1) • [(r2 - r1) x (r3 - r1)] = 0

Ecuación segmentaria del plano 

                  x/a + y/b + z/c = 1        

Ecuación normal del plano

               xcosa + ycosb + zcosc - p = 0          donde      p = n • r

    - Factor Normalizante    

                                            u = ± 1 / (A² + B² + C²)^1/2

Distancia de un punto a un plano

                                 d = (Ax1 + By1 + Cz1 + D) /(A² + B² + C²)^1/2

PRODUCTO MIXTO

    

    - Si el producto mixto entre tres vectores es cero, entonces los tres vectores son COPLANARES.

    - Geometricamente el producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los tres vectores involucrados.    

 

                          

                                           V = A x B • C

Haz de planos

Conjunto infinito de planos que pasan por una recta común. 

   

 (A1 + ƛA2)x + (B1 + ƛB2)y + (C1 +ƛC2)z + (D1 + ƛD2) = 0

Ecuación vectorial de la esfera

    

              (r - ro)^2 = R^2                              Ecuación vectorial

              (x - xo)^2 + (y -yo)^2 + (z - zo)^2 = R^2      Ecuación cartesiana  

SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN 

Cilindros y superficies cuadráticas 

                              

                                 x^2 + y^2 = R^2                                                         z = x^2

ELIPSOIDE

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

x^2/a^2 - y^2/b^2 = z/c

 

 FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN R3

- CASOS PARTICULARES 

      Si F(t) = [f1(t) ; f2(t)]                                representa una curva plana en R2

      Si F(t) = [f1(t) ; f2(t) ; f3(t)]

                                                 r(t) = [f(t) ; g(t) ; h(t)]

                                                 F(t) = [fx(t) ; fy(t) ; fz(t)]

                                                 F(t) = [x(t) ; y(t) ; z(t)]

- CASO GENERAL

        F(t) = [x1(t) ; x2(t) ; ....... ; xn(t)]                             vector de "n" componentes 

          

           -Cada componente es una función escalar 

           -El dominio de F(t):  Dom f = Df1 n Df2 n ...... n Dfn

           -El recorrido de F(t):    Rang f = Rf1 U Rf2 U ........ U Rfn

Limites

El lim F(t), existirá si y solo si existen los limites de cada una de las funciones componentes, entonces
    t->to

lim F(t) = [lim f1(t) ; lim f2(t) ; lim f3(t)]

                                                     t->to         t->to       t->to       t->to
Continuidad

La función vectorial F(t) sera continua si cada una de sus componentes es continua.
Además la función vectorial sera continua si cumple:

lim F(t) = F(a)

                                                                        t ->a 

 Derivadas

F`(t) = [f1`(t) ; f2`(t) ; f3`(t) ; .......... ; fn`(t)]

Integrales

TRIEDRO MÓVIL

             r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k

                         B = r`(t) x r(t)                                   Vector binormal
                         N = B x r                                          Vector normal

VECTOR TANGENTE
                                      T = r´(t)